轴扭转时的外力和内力

一、扭转时外力偶矩的计算
　在分析轴的受力情况时，齿轮、传动链条和皮带的圆周力对轮心的力矩就是使轴发生扭转变形的外力偶矩，若已知圆周力P和轮子的半径R，则外力偶矩为 M=PR　　　　　　　　　　(1-38)
工程上遇到的传动轴，通常不直接给出外力矩M的数值，而是已知轴的转数n和所传递的功率N。由功率和转数可计算出外力矩的大小。由物理学已知，功率N等于力P和速度v的乘积，即 　N=Pv 　　
设齿轮的转速为n(r/min)，则轮缘的线速度v(m/s)为 　v=2pRn/60
　代入 N=Pv 得 N=P·2pRn/60 　　　
　将公式(1-38)代入上式，则得 　 N=2p/60·Mn
　可得出外力矩的计算公式： （N·m） 　　　(1-39)
　式中M的单位为N·m，功率的单位为kW，转速的单位为r/min。

　　圆轴传递的功率N和转数n为已知时，用上述公式即可求出该轴外力矩的大小。由式(1-39)可以看出，如轴的功率N一定，转数n越大，则外力矩越小，反之，转数越低则外力矩越大。例如，化工设备厂卷制钢板圆筒用的卷板机，工作时滚轴所需力矩很大，因为功率受到一定的限制，所以只能减低滚轴的转数n来增大力矩M。由电动机经过一个三级四轴减速机带动滚轴，此减速机各轴传递的功率可看成是一样的。因此，转数n高的轴，力矩M就小，轴径就细一些；转数低的轴，力矩M就大，轴径就粗。在工厂里当看到一套传动装置时，往往可从轴径的粗细来判断这一组传动轴中的低速轴和高速轴。

二、扭转时横截面上的内力 　
　　圆轴在外力矩的作用下匀速转动，在轴的横截面上必然产生内力。内力的大小和性质仍可用截面法来分析。

　　结合截面法求搅拌轴内力示意图，搅拌轴的受力情况见图中(c)；轴的上端作用的主动力矩为mC，使搅拌轴带动桨叶旋转。桨叶受到物料的阻力给轴以阻力矩mA与mB，轴匀速转动，主动力矩mC与阻力矩mA、mB成平衡，因此mC-mA-mB=0。

　　现用截面法求内力：欲求截面1-1的内力，假想用一平面在1-1处将轴截成上、下两段。研究上段，见图(d)，在横截面l-1上，必然有内力偶矩m1存在，与外力矩mC成平衡，根据平衡条件：∑m=0，mC-m1=0，可以得到内力偶矩m1=mC。

　　在AB段中任一截面2-2，保留上段，见图(e)，根据平衡条件：∑m=0，mC-mA-m2=0，可以得到m2=mC-mA。截面2-2上的扭矩为m2，方向如图示。同理，取2-2截面下段研究，也可求得2-2截面上的扭矩，结果是一样的。

　从上例可以看出，在扭转时，圆轴横截面上必有内力偶矩存在，这个内力偶矩叫做扭矩。其大小等于截面一侧上外力矩的代数和；其正负号可以按右手螺旋法则用矢来表示，并规定当矢的指向离开截面时扭矩为正，反之为负。

　　下面给出一道例题，来加深对本节内容的理解。

例1-21．如图所示的传动轴，转速为n＝200r／min，由主动轮A输入功率NA=15kW，由从动轮B和C输出的功率分别为NB=9kW和NC=6kW。试求1-1截面和2-2截面的扭矩。

解析：

首先求外力矩的大小：
　　　　mA =9550 N/n =9550×（15/200）= 716 N·m

　　　mB =9550 N/n =9550×（9/200）= 430 N·m

　　　mC =9550 N/n =9550×（6/200）= 287 N·m

利用截面法求扭矩：

　　2-2 截面 　　　　　　　m2 =mC =287 N·m

　　1-1 截面　　　　　　　　　m1 =mB＋mC =716 N·m　　　

对1-1截面也可以取截面的右段，得到相同的结果。

可见，1-1截面上的扭矩最大。轴上扭矩最大的截面为危险截面，决定轴直径的大小应根据危险截面上的扭矩进行计算。

　　如将上图的传动布置改为下图的形式，即将主动轮A放在从动轮B和C之间，
这时可以容易地看出：

　　　　　　　 m2 =mC =287 N·m

　　　　　　　　m1 =mB =430 N·m

则最大扭矩由原来的716N·m减小到430N·m，轴的直径可以相应减小，节约了材料，布局就更为合理了。